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1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
a) $f(x)=x^{4}-2 x^{2}$
a) $f(x)=x^{4}-2 x^{2}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} x^{4}-2 x^{2} = +\infty $
$ \lim_{x \to -\infty} x^{4}-2 x^{2} = +\infty $
Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en $+\infty$ y en $-\infty$ nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función.
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = 4x^3 - 4x $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
$ 4x^3 - 4x = 0 $
Saco factor común $4x$
$ 4x(x^2 - 1) = 0 $
Obtenemos que los resultados son $x = 0$, $x = -1$ y $x = 1$. Estos son nuestros "puntos críticos".
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < -1$
b) $-1 < x < 0$
c) $0 < x < 1$
d) $x > 1$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < -1$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
b) Para $-1 < x < 0$,
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
c) Para $0 < x < 1$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
d) Para $x > 1$
$f'(x)> 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: